Desviación estándar en la ruleta
La desviación estándar en la ruleta, la raíz cuadrada de la varianzamatemáticasVarianzaUna medida de cuánto se dispersan los resultados alrededor del valor esperado. Alta para el pleno, baja para las apuestas sencillas.Leer todo →, es la distancia típica entre un resultado y su valor esperado.
Por cada $1 apostado, σ es 5.84 en un pleno y 1.00 en el rojo. Para una sesión, multiplícala por la apuesta y por la raíz cuadrada del número de giros.
Regla práctica
Alrededor de dos tercios de las sesiones caen a menos de una σ del valor esperado y el 95% a menos de dos. En 100 giros al rojoapuestaRojoApuesta sencilla sobre los 18 números rojos. En francés: rouge.Leer todo → con $10 (esperado −$27, σ = $100), la mayoría de las sesiones queda entre −$127 y +$73, y casi todas entre −$227 y +$173. Un resultado fuera de ese rango no prueba nada, salvo que una sesión de cada veinte lo hace.
Por qué √N
La pérdida esperadamatemáticasPérdida esperadaEl valor esperado multiplicado por la cantidad total apostada; la cantidad que se pierde en promedio a lo largo de una sesión o de un período.Leer todo → crece en proporción a N; la dispersión crece en proporción a √N. Con N pequeño, la dispersión domina y las sesiones son monedas al aire con una ligera inclinación. Con N grande, la pérdida supera a la dispersión. El cruce, donde la pérdida esperada es igual a una desviación estándarmatemáticasDesviación estándarRaíz cuadrada de la varianza; la distancia típica de un resultado respecto al valor esperado.Leer todo →, está en N = (σ/ventaja)² = (1/0.027)² ≈ 1,370 giros para las apuestas sencillas (pagan una vez lo apostado) y (5.84/0.027)² ≈ 46,800 para los plenosapuestaPlenoUn solo número, paga 35:1.Leer todo →. Por debajo de esas cifras decide la suerte; por encima, la ventaja.
Cómo usarla
Para juzgar si una sesión fue inusual, calcula (resultado − VE)/σ. Un jugador de $10 al rojo que termina 100 giros con +$150 está a (150 + 27)/100 = 1.77σ, un resultado de uno de cada 25: suerte, nada extraordinario. Un jugador de plenos con los mismos +$150 está a 0.3σ: una noche común y corriente. El mismo resultado en dólares significa cosas distintas en apuestas distintas.
Error estándar de una proporción
La misma aritmética te dice cuántos giros hacen falta para ver la ventaja en los datos. El error estándar de una proporción observada de aciertos es √(p(1 − p)/N). Para el rojo con N = 1,000: √(0.4865 × 0.5135 / 1000) ≈ 1.6%. La diferencia entre una moneda equilibrada y el rojo es del 1.35%, así que tras 1,000 giros todavía no puedes distinguirlos con confianza. Tras 10,000, el error estándar es del 0.5% y sí puedes. Esta es también la razón por la que detectar el sesgo de una rueda exige tantos giros.
Una advertencia sobre la asimetría
Los resultados de los plenos están muy lejos de seguir una distribución normal en una sesión corta: la mayoría de las sesiones son un −$10 constante por giro con saltos ocasionales de +$350. La regla de ±1σ describe bien la dispersión, pero mal la forma, hasta que N llega a las centenas. Para las apuestas sencillasapuestaApuesta sencillaRojo/negro, impar/par, mayor/menor. 18 números, paga 1:1.Leer todo →, la aproximación normal es buena a partir de unos 30 giros.
Fórmula
Preguntas
Es la prueba de que jugaste unas 40 sesiones, o de que tuviste la sesión afortunada de cada cuarenta. Repítela.
Oscila cada vez menos: el error estándar del promedio es σ/√N. Con N = 10,000 es el 1% de la apuesta.
Matemáticas para divertirse
Inténtalo tú primero. Cada solución está oculta; ábrela cuando estés listo.
En 100 giros de una rueda europea, una unidaddineroUnidadLa apuesta base con la que trabaja un sistema o un jugador. Las progresiones se describen en unidades para que sirvan en cualquier mesa.Leer todo → al rojoapuestaRojoApuesta sencilla sobre los 18 números rojos. En francés: rouge.Leer todo → va por delante con al menos 51 aciertos, y una unidad a un plenoapuestaPlenoUn solo número, paga 35:1.Leer todo → va por delante si su número sale al menos 3 veces. Usa la campana de Gauss para estimar las dos probabilidades y compáralas después con las respuestas exactas.
Ver la solución
Respuesta Rojo: la campana da un 35.6% y la respuesta exacta es un 35.5%. El pleno: la campana da un 55.0% y la respuesta exacta es un 50.9%. El atajo funciona con el rojo y falla con el número solo.
Rojo: los aciertos son en promedio 100 × 18/37 = 48.6, con una dispersión de √(100 × 18/37 × 19/37) = 5.0. Ir por delante significa 51 o más; el punto intermedio, 50.5, está 0.37 veces la dispersión por encima del promedio, y la campana deja un 35.6% por encima de ese punto. Sumar las probabilidades exactas de 51, 52… 100 aciertos da un 35.5%.
Pleno: los aciertos son en promedio 100/37 = 2.70, con una dispersión de √(100 × 1/37 × 36/37) = 1.62. Tres aciertos o más significa por encima de 2.5, 0.12 veces la dispersión por debajo del promedio: un 55.0% según la campana. Exactamente, es 1 menos las probabilidades de 0, 1 y 2 aciertos, 6.5% + 17.9% + 24.7%, lo que deja un 50.9%.
La campana necesita muchos resultados a ambos lados del promedio. El rojo los tiene tras 100 giros; un número que sale en promedio menos de tres veces, no. La curva llega a dar un 8.7% a “ningún acierto”, cuando la probabilidad real es del 6.5%. Taylor (2021) pone la binomial y la campana una junto a la otra de la misma manera.
Nota de humor
Una sesión de cada veinte queda fuera de dos sigmas. Siempre hay alguien en la cola.
Fuentes
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.