Convergencia a largo plazo: la ley de los grandes números en la ruleta
Cómo se estabiliza el promedio en torno a −2.70%, y por qué tarda más de lo que sugiere la intuición.
La pérdida promedio por giro converge a −1/37 a medida que se acumulan giros, con una dispersión que se reduce como 1/√N. Tras 1,000 giros al rojo, el promedio suele estar a menos de ±3% de su valor esperado.
Ley de los grandes números
El promedio acumulado de apuestas independientes tiende al valor esperadomatemáticasValor esperadoEl resultado promedio por apuesta a largo plazo. −1/37 de la apuesta en toda apuesta europea estándar.Leer todo →. Tras N giros de apuesta sencilla (paga una vez lo apostado) con una unidaddineroUnidadLa apuesta base con la que trabaja un sistema o un jugador. Las progresiones se describen en unidades para que sirvan en cualquier mesa.Leer todo →, el resultado promedio por giro tiene un valor esperado de −1/37 y una desviación estándarmatemáticasDesviación estándarRaíz cuadrada de la varianza; la distancia típica de un resultado respecto al valor esperado.Leer todo → de 1/√N. Con N = 100, esa dispersión es del 10% de la apuesta, casi cuatro veces la señal del 2.7%. Con N = 1,000 es del 3.2%, más o menos igual que la señal. Con N = 10,000 es del 1%, y la ventaja se ve con claridad. La ventaja es invisible en una sesión e inconfundible en un año.
Qué converge y qué no
El promedio por giro converge. El total no: se aleja cada vez más de cero a medida que crece N, en torno al 2.7% de N en valor esperado, con una dispersión de √N alrededor de ese valor. Se espera que un jugador que ha jugado 10,000 giros a $10 lleve perdidos $2,700, $1,000 más o menos. La proporción acumulada de rojosapuestaRojoApuesta sencilla sobre los 18 números rojos. En francés: rouge.Leer todo → hace tiempo que se asentó cerca del 48.65%; el saldo acumulado no se ha asentado en ninguna parte.
- p10 −$440
- p25 −$280
- mediana −$140
- p75 +$0
- p90 +$140
Por qué falla la intuición
La gente espera que la ventaja se note enseguida porque el 2.70% suena a mucho, y espera que las rachas largas se “compensen” porque la ley de los grandes númerosmatemáticasLey de los grandes númerosEl promedio de resultados independientes converge al valor esperado a medida que crece el número de pruebas.Leer todo → dice que los promedios convergen. Las dos intuiciones juzgan mal la escala: la ventaja es pequeña frente a la varianzamatemáticasVarianzaUna medida de cuánto se dispersan los resultados alrededor del valor esperado. Alta para el pleno, baja para las apuestas sencillas.Leer todo → de un solo giro (σ = 1 unidad frente a VE = 0.027), así que hacen falta (1/0.027)² ≈ 1,400 giros para que sea visible a una sigma. Y la convergencia del promedio no hace nada por devolver el total: solo diluye las fluctuaciones pasadas.
Convergencia en otras apuestas
Para los plenosapuestaPlenoUn solo número, paga 35:1.Leer todo →, σ = 5.84, así que el mismo cálculo da (5.84/0.027)² ≈ 47,000 giros para que la ventaja alcance una sigma. Un jugador de plenos puede jugar durante años sin que la ventaja se distinga de la suerte en sus propios registros, mientras paga exactamente el mismo 2.70% que el jugador al rojo, que la ve en cuestión de semanas.
Consecuencia para probar sistemas
Quien afirme que un sistema funciona debería poder demostrarlo en 10,000 giros o más, con un promedio positivo documentado. A los 1,000 giros, un promedio positivo en apuesta sencilla es un suceso de uno entre cinco bajo la hipótesis nula; a los 100 giros es casi como lanzar una moneda al aire. Los simuladores de este sitio ejecutan 2,000 sesiones de la duración que elijas en un segundo, que es más evidencia que cualquier testimonio.
Fórmula
Preguntas
La probabilidadmatemáticasProbabilidadGrado de posibilidad de un resultado, de 0 a 1 o del 0% al 100%. Un número: 1/37 = 2.70%.Leer todo → de volver a estar en ganancia alguna vez cae hacia cero a medida que juegas. El total se desplaza hacia abajo sin límite.
No. Significa que las fluctuaciones pasadas pasan a ser una fracción menor de una muestra mayor.
En apuesta sencilla, unos 10,000 antes de que la ventaja se vea con claridad. En plenos, unos 50,000.
Matemáticas para divertirse
Inténtalo tú primero. Cada solución está oculta; ábrela cuando estés listo.
Dos amigos juegan 20 rondas de un juego justomatemáticasJuego justoUn juego en el que ninguna de las dos partes tiene ventaja: toda apuesta tiene un valor esperado de cero.Leer todo →, cara o sello o rojoapuestaRojoApuesta sencilla sobre los 18 números rojos. En francés: rouge.Leer todo → contra negroapuestaNegroApuesta sencilla sobre los 18 números negros. En francés: noir.Leer todo → con los cerosruedaCeroLa única casilla verde, que no cubre ninguna apuesta sencilla, docena ni columna; el origen de la ventaja de la casa. También: cero único, 0.Leer todo → devueltos, y llevan la cuenta del marcador. Cuenta las rondas en las que va por delante cada uno (un empate cuenta para quien iba por delante justo antes). ¿Qué es más probable: que el liderato se reparta 10 rondas a 10, o que un amigo vaya por delante las 20?
Ver la solución
Respuesta Que un amigo vaya por delante las 20 rondas es mucho más probable: un 35.2%, contando a cualquiera de los dos, frente a un 6.1% para un reparto de 10 a 10.
La probabilidad de que un marcador justo esté igualado tras 2k rondas es u = C(2k, k)/2²ᵏ: 0.246 tras 10 rondas y 0.176 tras 20. Un resultado clásico, la ley del arcoseno, dice que la probabilidad de que un amigo concreto vaya por delante exactamente 2k de 2n rondas es u(2k) × u(2n − 2k).
Ir por delante las 20: u(20) × u(0) = 0.176 para cada amigo, 35.2% para cualquiera de los dos. Un reparto igualado: u(10) × u(10) = 0.246² = 6.1%, el reparto menos probable de todos.
Así que en un juego justo el liderato rara vez cambia de manos. Un jugador que ha ido por delante toda la noche, o por detrás toda la noche, no ha visto nada raro, y eso no dice nada de la rueda ni de la habilidad. Epstein (2013) da la misma ley para partidas más largas: la mitad de las veces, el lado con más suerte va por delante más del 85% del juego.
Nota de humor
El promedio converge. El total simplemente se va.
Fuentes
- Bernoulli, J. Ars Conjectandi.
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.