Varianza
Por qué un pleno y una apuesta al rojo con la misma pérdida esperadamatemáticasPérdida esperadaEl valor esperado multiplicado por la cantidad total apostada; la cantidad que se pierde en promedio a lo largo de una sesión o de un período.Leer todo → parecen juegos distintos.
La varianza mide cuánto se dispersan los resultados alrededor del valor esperado. Por unidad apostada es de alrededor de 34 en un pleno y de alrededor de 1 en el rojo.
La fórmula para una sola apuesta
Para una apuesta que paga W a 1 con probabilidadmatemáticasProbabilidadGrado de posibilidad de un resultado, de 0 a 1 o del 0% al 100%. Un número: 1/37 = 2.70%.Leer todo → p, el resultado por unidaddineroUnidadLa apuesta base con la que trabaja un sistema o un jugador. Las progresiones se describen en unidades para que sirvan en cualquier mesa.Leer todo → es +W con probabilidad p y −1 con probabilidad 1 − p. El valor esperadomatemáticasValor esperadoEl resultado promedio por apuesta a largo plazo. −1/37 de la apuesta en toda apuesta europea estándar.Leer todo → es pW − (1 − p) = −1/37. La varianzamatemáticasVarianzaUna medida de cuánto se dispersan los resultados alrededor del valor esperado. Alta para el pleno, baja para las apuestas sencillas.Leer todo → es E[X²] − VE² = pW² + (1 − p) − (1/37)². Para un plenoapuestaPlenoUn solo número, paga 35:1.Leer todo →: (1/37)(1225) + 36/37 − 0.0007 ≈ 34.08. Para el rojoapuestaRojoApuesta sencilla sobre los 18 números rojos. En francés: rouge.Leer todo →: 18/37 + 19/37 − 0.0007 ≈ 0.999.
Qué significa para una sesión
Las varianzas se suman en los giros independientesmatemáticasGiros independientesCada giro tiene las mismas probabilidades sea cual sea el historial. Es la base de todos los cálculos de este sitio.Leer todo →, así que en N giros con una apuesta fija la varianza del total es N × apuesta² × σ², y la desviación estándarmatemáticasDesviación estándarRaíz cuadrada de la varianza; la distancia típica de un resultado respecto al valor esperado.Leer todo → es σ × apuesta × √N. 100 giros de $10: la desviación estándar es de unos $584 en los plenos y de $100 en el rojo, con el mismo −$27 esperado. Un jugador ve resultados que oscilan en cientos; el otro ve una deriva suave. Los dos pagan el mismo precio.
Varianza y sistemas
Una progresiónestrategiaProgresiónCualquier regla que cambia la apuesta en función de los resultados anteriores. Las progresiones negativas la suben tras las pérdidas; las positivas, tras los aciertos.Leer todo → no cambia el VE por unidad apostada, pero cambia tanto la cantidad apostada como la forma de la distribución. La martingalaestrategiaMartingalaProgresión que dobla la apuesta tras cada pérdida. Consulta la sección Estrategia para ver lo que hace y lo que no hace.Leer todo → reduce la varianza de la mayoría de las sesiones (muchas ganancias pequeñas) y añade una cola gruesa (la rara pérdida grande); la varianza total entre todas las sesiones es mayor que la de la apuesta planaestrategiaApuesta planaApostar la misma cantidad en cada giro. La referencia con la que se compara toda progresión.Leer todo → por culpa de esa cola. El ParoliestrategiaParoliProgresión positiva: dobla tras un acierto, reinicia tras una pérdida o tras tres aciertos seguidos. También: martingala inversa.Leer todo → hace lo contrario. Elegir un sistema es elegir un perfil de varianza; la media no está en el menú.
- p10 −$500
- p25 −$500
- mediana −$500
- p75 +$40
- p90 +$1,120
Estrategia de apuesta plana en la ruletaEstrategia Paroli en la ruleta (martingala inversa)
Por qué le importa al jugador
La varianza es lo que hace imprevisibles las sesiones cortas y previsibles las largas. Con σ = $100 y VE = −$27 en 100 giros, la ventaja es una cuarta parte del ruido y una sesión ganadora es algo común. En 10,000 giros, el VE es −$2,700 y σ es $1,000; la ventaja es ya casi tres veces el ruido y una racha ganadora es un suceso de tres sigmas. La varianza es amiga del jugador a corto plazo y de la casa a largo plazo.
Varianza de una combinación
Cuando se hacen varias apuestas en el mismo giro, los resultados están correlacionados (un acierto en el 17 es también un acierto en el negroapuestaNegroApuesta sencilla sobre los 18 números negros. En francés: noir.Leer todo → y en la segunda docenaapuestaDocena1–12, 13–24 o 25–36, paga 2:1.Leer todo →), así que las varianzas no se suman sin más. La herramienta Constructor de apuestas calcula la distribución exacta para cualquier conjunto de fichasdineroFichaUna pieza que representa un monto fijo y que se coloca sobre el paño para hacer una apuesta. También: check.Leer todo → enumerando los 37 resultados, que es la única forma correcta de hacerlo.
Fórmula
Preguntas
No. Todas las apuestas tienen el mismo valor esperado. Una varianza mayor significa oscilaciones más amplias a su alrededor.
Las apuestas sencillasapuestaApuesta sencillaRojo/negro, impar/par, mayor/menor. 18 números, paga 1:1.Leer todo → (pagan una vez lo apostado), con σ ≈ 1 por unidad. Aún menos con la partagereglaLa partageRegla francesa: cuando sale el cero, se devuelve la mitad de la apuesta a una apuesta sencilla. Reduce a la mitad, al 1.35%, la ventaja de la casa en esas apuestas.Leer todo →, que además mejora la media.
La ganancia esperada es el mismo por dólar; la varianza solo afecta a lo irregulares que son los ingresos del casino, y un casino tiene miles de jugadores que los suavizan.
Matemáticas para divertirse
Inténtalo tú primero. Cada solución está oculta; ábrela cuando estés listo.
Dos jugadores apuestan cada uno $1 por giro durante 100 giros en una rueda europea, uno siempre al rojoapuestaRojoApuesta sencilla sobre los 18 números rojos. En francés: rouge.Leer todo → y el otro siempre al 17. ¿Quién tiene más probabilidades de ir ganando al final?
Ver la solución
Respuesta El jugador del 17: un 50.9%, frente a un 35.5% el del rojo. Los dos pierden $2.70 en promedio.
Rojo: el jugador va ganando con 51 aciertos o más de 100, cada uno con probabilidadmatemáticasProbabilidadGrado de posibilidad de un resultado, de 0 a 1 o del 0% al 100%. Un número: 1/37 = 2.70%.Leer todo → 18/37. La distribución binomial da un 35.5%, y exactamente 50 aciertos, quedar en equilibrio, otro 7.7%.
El número 17: cada acierto devuelve $36, así que dos aciertos (−$28) no bastan y tres (+$8) sí. La probabilidad de tres aciertos o más en 100 giros a 1/37 es del 50.9%.
El jugador del pleno va ganando más a menudo, pero los resultados van a saltos: un acierto más o menos mueve el resultado $36, y los jugadores que van perdiendo suelen ir más atrás. Bollman (2024) da las cifras americanas, 26.5% y 49.2%.
Nota de humor
La misma pérdida esperada. Una de ellas te lo cuenta a gritos.
Fuentes
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.