Probabilidad de las rachas en la ruleta
Las rachas largas de un mismo color son habituales. También carecen de sentido para el siguiente giro.
Cinco rojos seguidos: 2.7%. Diez: 0.074%. En una sesión de 200 giros, una racha de seis de un mismo color aparece en más de la mitad de las sesiones.
Con qué frecuencia llega una racha perdedora
Una apuesta sencilla en una rueda de un solo cero pierde 19 giros de cada 37. Cada fila es la probabilidad de que una serie dada de giros pierda entera, y lo que lleva perdido para entonces quien juega a la martingala, que dobla tras cada pérdida.
| pérdidas seguidas | probabilidad | aprox. 1 de cada | ya perdido | apuesta siguiente |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 51.4% | 2 | $1 | $2 |
| 2 | 26.4% | 4 | $3 | $4 |
| 3 | 13.5% | 7 | $7 | $8 |
| 4 | 7.0% | 14 | $15 | $16 |
| 5 | 3.6% | 28 | $31 | $32 |
| 6 | 1.8% | 55 | $63 | $64 |
| 7 | 0.94% | 106 | $127 | $128 |
| 8 | 0.48% | 207 | $255 | $256 |
| 9 | 0.25% | 403 | $511 | $512 |
| 10 | 0.13% | 784 | $1,023 | $1,024 |
| 11 | 0.065% | 1527 | $2,047 | $2,048 |
| 12 | 0.034% | 2974 | $4,095 | $4,096 |
| 13 | 0.017% | 5792 | $8,191 | $8,192 |
| 14 | 0.0089% | 11279 | $16,383 | $16,384 |
| 15 | 0.0046% | 21965 | $32,767 | $32,768 |
La probabilidad es 19/37 multiplicado por sí mismo una vez por pérdida, contada desde un giro dado. Una sesión larga tiene muchos giros en los que puede empezar una racha así, de modo que a lo largo de una noche es mucho más probable de lo que sugiere una fila.
Una sola racha
La probabilidadmatemáticasProbabilidadGrado de posibilidad de un resultado, de 0 a 1 o del 0% al 100%. Un número: 1/37 = 2.70%.Leer todo → de que los próximos k giros sean todos rojosapuestaRojoApuesta sencilla sobre los 18 números rojos. En francés: rouge.Leer todo → es (18/37)ᵏ. Dos: 23.7%. Cinco: 2.7%. Diez: 0.074%, alrededor de 1 de cada 1,350. Veinte: 1 de cada 1.8 millones. Veintiséis, el récord de Montecarlo: 1 de cada 137 millones. Estas son las probabilidades de una racha concreta que empieza en un giro concreto, que es la pregunta que casi nadie se está haciendo en realidad.
En una sesión
La pregunta que la gente se hace es “¿aparecerá en mi sesión una racha de k en algún momento?”, y la respuesta es mucho mayor que (18/37)ᵏ, porque una sesión de 200 giros ofrece casi 200 puntos de partida para una racha. Una racha de seis o más del mismo color, rojo o negroapuestaNegroApuesta sencilla sobre los 18 números negros. En francés: noir.Leer todo →, aparece en una sesión de 200 giros alrededor del 94% de las veces; de ocho o más, alrededor del 47%; de diez o más, alrededor del 14%. Si se nombra el color de antemano, las probabilidades bajan, a alrededor del 75%, el 27% y el 7%. Un jugador que se siente a jugar una noche verá rachas largas todas las noches.
Por qué le importa a la martingala
Toda progresiónestrategiaProgresiónCualquier regla que cambia la apuesta en función de los resultados anteriores. Las progresiones negativas la suben tras las pérdidas; las positivas, tras los aciertos.Leer todo → negativa tiene una longitud de racha que la rompe: seis pérdidas con una base de $10 y un límite de $500, diez con FibonacciestrategiaFibonacciProgresión que sigue la secuencia 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…: un paso adelante tras una pérdida, dos pasos atrás tras un acierto.Leer todo →, cinco al triplicar en docenasapuestaDocena1–12, 13–24 o 25–36, paga 2:1.Leer todo →. La probabilidad de una racha perdedora de seis en apuestas sencillas (pagan una vez lo apostado) es (19/37)⁶ ≈ 1.8% por intento, y una sesión de 200 giros contiene quizá 100 intentos, así que la ruptura llega en aproximadamente cuatro de cada cinco sesiones de esa duración. La probabilidad de las rachas en la ruleta es la razón de que el precipicio no sea raro.
Números calientes y fríos
La misma aritmética se aplica a los plenosapuestaPlenoUn solo número, paga 35:1.Leer todo →. En 300 giros, el recuento esperado por número es 8.1; la desviación estándarmatemáticasDesviación estándarRaíz cuadrada de la varianza; la distancia típica de un resultado respecto al valor esperado.Leer todo → es de unos 2.8. Algún número mostrará 15 aciertos y algún otro 2 solo por azar, siempre. Un panel de resultados que destaca los números “calientes” está destacando la cola superior de una distribución normal. El Laboratorio explica cuántos giros hacen falta para que un número calientemitoNúmero calienteUn número que ha salido últimamente más veces de lo esperado. En una rueda equilibrada no predice nada.Leer todo → signifique algo (miles, de una misma rueda identificada).
La independencia lo es todo
Una racha de diez rojos no hace más probable el negro, y tampoco hace más probable el rojo. Los dos son 18/37. Las rachas son una propiedad de las secuencias aleatorias y resultarían sospechosas por su ausencia: una secuencia de 200 giros sin ninguna racha de más de cuatro sería una evidencia de manipulación mucho más fuerte que una con una racha de doce.
Fórmula
Preguntas
La famosa es la de 26 negros en Montecarlo el 18 de agosto de 1913. Se reportaron 32 rojos seguidos en un casino estadounidense en 1943. Las dos son compatibles con el azar, dada la cantidad de giros que se juegan en los casinos.
Es 18/37 en ambos casos. Apuesta lo que diga tu plan, o nada.
No. El sesgo se manifiesta en que algunas casillasequipoCasillaCada uno de los 37 compartimentos numerados del rotor. También: casillero, alvéolo.Leer todo → salen más a menudo a lo largo de miles de giros, no en rachas de un color.
Matemáticas para divertirse
Inténtalo tú primero. Cada solución está oculta; ábrela cuando estés listo.
¿Cuántos giros de una rueda europea hacen falta, en promedio, para que cada uno de los 37 números haya salido al menos una vez?
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Respuesta Unos 155 giros en promedio; la mediana es 147.
Cuenta la espera de un número nuevo cada vez. El primer giro siempre muestra un número nuevo. Una vez que has visto 1 número, 36 casillasequipoCasillaCada uno de los 37 compartimentos numerados del rotor. También: casillero, alvéolo.Leer todo → de 37 son nuevas, así que el siguiente número nuevo tarda 37/36 giros en promedio. Una vez vistos k números, tarda 37/(37 − k).
Suma las esperas: 37/37 + 37/36 + 37/35 + … + 37/1 = 37 × (1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/37) ≈ 37 × 4.20 = 155.5 giros.
La mayor parte está al final. Solo el último número tarda 37 giros en promedio y los últimos cinco unos 85. En una rueda americana la misma suma da aproximadamente 161. Es el problema del coleccionista de cupones; la misma media se deriva del cálculo estándar.
En 37 giros de una rueda europea, un giro por casilla, ¿cuántos números distintos deberías esperar ver?
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Respuesta Unos 23.6. Aproximadamente un tercio de los números, unos 13, no sale ni una vez.
Toma un número, por ejemplo el 17. En cada giro no sale con una probabilidad de 36/37, así que falla los 37 giros con una probabilidad de (36/37)³⁷ ≈ 0.363.
Todos los números tienen la misma probabilidad, así que en promedio faltan 37 × 0.363 ≈ 13.4 números y salen 37 − 13.4 ≈ 23.6, muchos de ellos dos veces o más.
Los jugadores de ruleta lo llaman la ley de los tercios. No es ninguna ley, solo la aritmética de las repeticiones: en una serie tan larga como la rueda, alrededor de un tercio de los números se queda fuera, en una rueda equilibrada igual que en cualquier otra. Con 38 casillas la fracción también es (37/38)³⁸ ≈ 0.363; para una rueda grande se acerca a 1/e ≈ 0.368.
Un amigo te muestra dos listas de 50 colores, rojoapuestaRojoApuesta sencilla sobre los 18 números rojos. En francés: rouge.Leer todo → o negroapuestaNegroApuesta sencilla sobre los 18 números negros. En francés: noir.Leer todo →, que supuestamente salen de una rueda dejando fuera los cerosruedaCeroLa única casilla verde, que no cubre ninguna apuesta sencilla, docena ni columna; el origen de la ventaja de la casa. También: cero único, 0.Leer todo →. Una cambia de color 25 veces y su racha más larga es de seis. La otra cambia 35 veces y nunca pasa de tres seguidos. ¿Cuál es inventada?
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Respuesta La segunda. Una lista real cambia unas 24 o 25 veces. Una con 35 cambios aparece aproximadamente una vez de cada 500 listas, y una sin ninguna racha de más de tres, unas dos veces de cada 100.
Cada nuevo color o repite el anterior o cambia, mitad y mitad, así que 49 ocasiones de cambiar dan 24.5 cambios en promedio, con un margen de unos 3.5 arriba o abajo. Treinta y cinco está tres de esos pasos por encima del promedio; una rueda equilibrada produce tantos cambios aproximadamente una vez de cada 500 listas.
Las rachas cuentan la misma historia. Una lista real de 50 tiene una racha de cuatro o más alrededor del 98% de las veces, y su racha más larga suele ser de cinco o seis.
Las personas a las que se pide inventar una lista aleatoria cambian demasiado a menudo, porque una racha de cuatro o cinco les parece un patrón. Taylor (2021) muestra la misma señal en listas de lanzamientos de moneda inventadas por estudiantes: el azar real tiene más rachas de lo que la gente espera.
Un libro de historias de casino habla de un jugador cuyo número salió cinco veces seguidas y lo llama un récord. ¿Qué tan raro es eso en una rueda europea? ¿Y con qué frecuencia debería ocurrir en algún punto de un casino con 20 mesas, cada una con 40 giros por hora, día y noche?
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Respuesta Un número elegido cinco veces seguidas: 1 de cada 69 millones. Un número cualquiera que sale cuatro veces más después de su primera aparición: 1 de cada 1.87 millones. Ese casino hace unos 7 millones de giros al año, así que debería ver una racha de cinco tres o cuatro veces al año.
Un número elegido sale con probabilidad 1/37 en cada giro, así que cinco veces seguidas tienen probabilidad (1/37)⁵ = 1 de cada 69,343,957. Pero nadie elige el número de antemano. Salga lo que salga primero, los cuatro giros siguientes tienen que repetirlo: (1/37)⁴ = 1 de cada 1,874,161.
20 mesas × 40 giros × 24 horas × 365 días = 7,008,000 giros al año. Cada giro puede iniciar una racha, así que el casino espera 7,008,000/1,874,161 ≈ 3.7 rachas de cinco al año.
No existe ningún registro oficial de este tipo, y no hace falta: un suceso raro en una mesa es algo rutinario en todo un casino, y las historias se cuentan sobre la mesa donde ocurrió. La historia, en Goldman (2007), transcurre en una rueda de doble cero, donde las cifras son 1 de cada 79 millones y 1 de cada 2.09 millones.
Nota de humor
Las rachas largas son el aspecto que tiene el azar.
Fuentes
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.