Riesgo de ruina
La probabilidad de perder todo el bankroll antes de alcanzar un objetivo.
En las apuestas sencillas, el riesgo de ruina sigue la fórmula de la ruina del jugador. Con un bankroll de $500, apuestas de $10 y un objetivo de $600, alcanzas el objetivo alrededor del 57% de las veces y te quedas sin nada el resto.
La pregunta
Tienes a unidadesdineroUnidadLa apuesta base con la que trabaja un sistema o un jugador. Las progresiones se describen en unidades para que sirvan en cualquier mesa.Leer todo → de bankrolldineroBankrollLa cantidad total reservada para jugar. La gestión del bankroll consiste en decidir qué parte arriesgar por apuesta y por sesión.Leer todo → y quieres llegar a a + b unidades, apostando una unidad cada vez a una apuesta sencillaapuestaApuesta sencillaRojo/negro, impar/par, mayor/menor. 18 números, paga 1:1.Leer todo → (paga una vez lo apostado) con probabilidadmatemáticasProbabilidadGrado de posibilidad de un resultado, de 0 a 1 o del 0% al 100%. Un número: 1/37 = 2.70%.Leer todo → de ganar p = 18/37 y probabilidad de perder q = 19/37. ¿Cuál es la probabilidad de que alcances el objetivo antes de llegar a cero? La respuesta la obtuvieron Pascal, Fermat y Huygens en la década de 1650 y es uno de los resultados más antiguos de la probabilidad.
La fórmula de la ruina del jugador
P(alcanzar el objetivo) = (1 − (q/p)ᵃ) / (1 − (q/p)ᵃ⁺ᵇ). El riesgo de ruinamatemáticasRiesgo de ruinaProbabilidad de perder todo el bankroll antes de alcanzar un objetivo o un número de giros.Leer todo → es uno menos eso. Con q/p = 19/18 ≈ 1.0556, el cociente crece exponencialmente con el número de unidades, así que la fórmula castiga con severidad las unidades pequeñas: cuantas más apuestas hacen falta para llegar al objetivo, más veces se paga por el camino el peaje del 2.70%.
Cómo leerlo
Las unidades pequeñas perjudican. Intentar doblar $500 con apuestas de $10 tiene éxito el 6% de las veces; con una sola apuesta de $500 lo tiene el 48.6% de las veces. El juego audaz, con menos apuestas y mayores, maximiza la probabilidad de alcanzar un objetivo en un juego de valor esperado negativo, porque minimiza el número de veces que se aplica la ventaja. También maximiza la varianzamatemáticasVarianzaUna medida de cuánto se dispersan los resultados alrededor del valor esperado. Alta para el pleno, baja para las apuestas sencillas.Leer todo → de lo que te ocurre y termina la velada rápido. El teorema se llama “el juego audaz es óptimo” y lo demostraron Dubins y Savage en 1965.
Dónde empezó el problema
La pregunta es más antigua que la ruleta. En 1656 Pascal le planteó a Fermat un acertijo: dos jugadores lanzan tres dados, y cada uno empieza con 12 fichas; una tirada de 11 mueve una ficha en un sentido, una de 14 en el otro. Ambos lo resolvieron, y Huygens, que se enteró por una carta del matemático Pierre de Carcavi, lo publicó en 1657 como el quinto problema del primer libro sobre probabilidad, con la respuesta y sin demostración. El once puede salir de 27 maneras y el catorce solo de 15, así que cada ficha se mueve a favor del primer jugador 9 veces de cada 14, y la fórmula de arriba, con 12 fichas cada uno, le da unas 1,157 veces más probabilidades de ganarlo todo que de perderlo todo. Una ventaja del 2.70% es mucho menor, pero la misma fórmula muestra lo que hace a lo largo de muchas apuestas.
Una apuesta audaz de verdad
En abril de 2004 Ashley Revell, un joven inglés, vendió casi todo lo que tenía, ropa incluida, y llevó $135,300 al Plaza de Las Vegas. Tras unas pocas apuestas pequeñas puso la cantidad entera al rojoapuestaRojoApuesta sencilla sobre los 18 números rojos. En francés: rouge.Leer todo →, una sola vez. La bolaequipoBolaLa pequeña bola que se lanza por la pista en sentido contrario al del rotor. Las bolas modernas son de ivorina o de teflón, de 18–21 mm.Leer todo → cayó en el 7 rojo y salió con $270,600. En una rueda de doble ceroruedaCeroLa única casilla verde, que no cubre ninguna apuesta sencilla, docena ni columna; el origen de la ventaja de la casa. También: cero único, 0.Leer todo →, ese único giro era una probabilidad del 47.37% y le costó $7,121 en promedio, la ventaja del 5.26% sobre una sola apuesta. Repartido en apuestas de $10, el mismo objetivo habría sido casi inalcanzable. El juego audaz no hace buena la apuesta; la hace lo más corta posible.
Riesgo de ruina sin objetivo
Si simplemente juegas hasta quedarte sin nada o paras tras N giros, la pregunta pasa a ser “¿cuál es la probabilidad de que mi bankroll llegue a cero en N giros?”. No hay una forma cerrada para un N general, pero los simuladores de este sitio la calculan: un bankroll de $500 con $10 al rojo casi nunca se agota en 100 giros (menos del 1%), se agota alrededor del 9% de las veces en 500 giros y alrededor del 95% de las veces en 5,000. Sin una regla de parada, la probabilidad tiende al 100%, que es la versión a largo plazo de la ventaja de la casamatemáticasVentaja de la casaLa parte de cada apuesta que el casino se queda en promedio: un 2.70% en la ruleta europea.Leer todo →.
- p10 −$500
- p25 −$500
- mediana −$500
- p75 +$0
- p90 +$350
Convergencia a largo plazo: la ley de los grandes números en la ruleta
Cuánto aguantas y cuánto llegas a ir por delante
Otros dos resultados clásicos responden a preguntas que los jugadores sí se hacen. Sin objetivo, las apuestas planas a apuestas sencillas duran en promedio 37 giros por cada unidad de bankroll en una rueda europea y 19 en una americana, porque cada giro se lleva en promedio 1/37 de unidad (1/19 en una rueda americana): 100 unidades duran en promedio 3,700 giros, aunque la mitad de esas sesiones termina en 3,134 giros o menos (consulta Duración y costo de la sesión). Y por grande que sea el bankroll, la probabilidad en una rueda europea de llegar alguna vez a ir k unidades por delante es (18/19)ᵏ. Es un 95% para una unidad y un 58% para diez, pero ningún bankroll, por grande que sea, da siquiera un cincuenta por ciento de probabilidad de llegar alguna vez a ir 13 unidades por delante; en una rueda americana la probabilidad es (9/10)ᵏ y baja de la mitad a partir de 7 unidades.
Duración y costo de la sesiónRueda y reglas de la ruleta americana
Un bankroll para un cincuenta por ciento de probabilidad
Dale la vuelta a la pregunta: ¿cuánto tienes que llevar para tener al menos un cincuenta por ciento de probabilidad de ganar una cantidad dada antes de perderlo todo? Para una ganancia pequeña, no mucho. Para una mayor, el bankroll necesario sube rápidamente, y a partir de cierto punto ningún bankroll basta, porque incluso uno infinito da menos de un cincuenta por ciento de probabilidad de llegar alguna vez a ir tan por delante. Taylor (2021) lo dice de otro modo: en una rueda americana, para tener un cincuenta por ciento de probabilidad de llegar a 100 unidades hay que empezar con 94, arriesgando 94 para ganar 6. En una rueda europea harían falta 88.
La lección práctica
Decide qué intentas hacer. Si el objetivo es una ganancia concreta, apuesta fuerte y pocas veces. Si el objetivo es una velada larga, apuesta poco y acepta que la ventaja se llevará su 2.70% de un volumen apostadodineroVolumen apostadoLa cantidad total apostada en una sesión o un período, contando las ganancias que se vuelven a apostar. También: handle, action.Leer todo → grande. Si el objetivo son las dos cosas, algo tiene que ceder, y suele ser el objetivo.
Fórmula
Preguntas
La martingalaestrategiaMartingalaProgresión que dobla la apuesta tras cada pérdida. Consulta la sección Estrategia para ver lo que hace y lo que no hace.Leer todo → lo reduce en sesiones cortas y lo aumenta drásticamente en las largas. La apuesta planaestrategiaApuesta planaApostar la misma cantidad en cada giro. La referencia con la que se compara toda progresión.Leer todo → con una unidad mayor es la forma honesta de reducirlo.
La fórmula anterior es para apuestas sencillas. En las apuestas de varianza alta, la ruina es más probable con apuestas pequeñas y el objetivo se alcanza a saltos; usa la calculadora.
Cada paso hacia el objetivo es algo menos probable que cada paso hacia la ruina; el cociente se acumula con el número de pasos.
Matemáticas para divertirse
Inténtalo tú primero. Cada solución está oculta; ábrela cuando estés listo.
Tienes $100 y quieres $1,000, apostando solo al rojoapuestaRojoApuesta sencilla sobre los 18 números rojos. En francés: rouge.Leer todo →. Plan uno: apostar $1 cada vez. Plan dos: apostar todo lo que tienes hasta pasar de $500, y después lo justo para llegar a $1,000. ¿Qué plan es mejor, y por cuánto?
Ver la solución
Respuesta El plan dos, con diferencia. Llega a $1,000 alrededor del 9.0% de las veces, cerca del 10% de un juego justo. El plan uno lo consigue unas 7 veces de cada 10²².
En un juego justomatemáticasJuego justoUn juego en el que ninguna de las dos partes tiene ventaja: toda apuesta tiene un valor esperado de cero.Leer todo → llegarías a $1,000 desde $100 una vez de cada diez, hicieras lo que hicieras, porque el valor medio de tu dinero se mantiene en $100.
La ventaja se lleva el 2.70% de cada apuesta, así que cuanto menos apuestes en total, más cerca te quedas de una de cada diez. El plan dos decide el asunto en un puñado de apuestas: $100 se convierten en $200, $400, $800, y entonces bastan $200. Lo consigue alrededor del 9.0% de las veces. El plan uno necesita miles de apuestas antes de que termine el recorrido, y la ventaja, pequeña en cada una, se acumula hasta una ruina casi segura.
Es el resultado de Dubins y Savage en su forma más simple (Epstein, 2013): en un juego que favorece a la casa, apostar tanto como haga falta, el menor número de veces posible.
Tienes $500 y quieres $1,000, y te detienes en cuanto los tienes. Eliges un tipo de apuesta y la repites hasta que gane una vez o se acabe el dinero. ¿Qué tipo da la mejor probabilidad?
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Respuesta Una sola apuesta de $500 al rojo: 48.6%. Cualquier plan que reparta el dinero en apuestas más pequeñas lo hace peor.
Elige cada monto de modo que un solo acierto baste: $30 a un plenoapuestaPlenoUn solo número, paga 35:1.Leer todo → ganan $1,050, $60 a un semiplenoapuestaSemiplenoDos números adyacentes, paga 17:1.Leer todo → ganan $1,020, y así sucesivamente. Luego cuenta la probabilidad de que al menos una apuesta gane antes de que se acabe el dinero. Dieciséis plenos de $30 fallan todos con probabilidad (36/37)¹⁶ = 64.5%, así que llegan a $1,000 el 35.5% de las veces.
La tabla muestra cada apuesta. El rojo es el mejor porque llega en una sola apuesta, así que la ventaja se paga una vez, sobre $500. La líneaapuestaLíneaSeis números en dos filas adyacentes, paga 5:1. En francés: sixain.Leer todo → queda segunda porque solo necesita tres. Una sola apuesta a una docenaapuestaDocena1–12, 13–24 o 25–36, paga 2:1.Leer todo → es la peor, una probabilidad de 12/37; incluso jugada en unidadesdineroUnidadLa apuesta base con la que trabaja un sistema o un jugador. Las progresiones se describen en unidades para que sirvan en cualquier mesa.Leer todo → de $250 hasta tener $1,000 o más, la docena solo llega el 46.4% de las veces.
Bollman (2024) construye la misma tabla para una rueda americana. Su fila de la docena tiene un error: debería decir 12/38 = 31.6%.
apuestamonto × número de apuestasprobabilidad de llegar a $1,000Pleno$30 × 1635.5%Semipleno$60 × 835.9%Calle$90 × 534.5%Cuadro$125 × 436.7%Línea$166, $166, $16841.2%Docena$500 × 132.4%Rojo$500 × 148.6%Apuestas una unidad al rojo, giro tras giro, con un bankrolldineroBankrollLa cantidad total reservada para jugar. La gestión del bankroll consiste en decidir qué parte arriesgar por apuesta y por sesión.Leer todo → que nunca se agota. Tras el primer giro vas una unidad por delante o una por detrás. ¿Qué probabilidad hay de que alguna vez vuelvas a quedar exactamente igualado?
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Respuesta 36 de cada 37, 97.3%. En una rueda americana es 36 de cada 38, 94.7%.
Si el primer giro gana (18 veces de cada 37), vas una unidad por delante, y la ventaja arrastra hacia abajo cualquier sesión interminable, así que tarde o temprano vuelves a pasar por el punto de igualdad: eso es seguro. Si pierde (19 veces de cada 37), tienes que subir una unidad, y la probabilidad de ir alguna vez una unidad por delante es 18/19 (consulta la tabla de arriba).
En conjunto: 18/37 + 19/37 × 18/19 = 18/37 + 18/37 = 36/37.
En general, la probabilidad es 1 menos la diferencia entre las probabilidades de ganar y de perder un giro: 1 − 1/37 en una rueda europea, 1 − 2/38 en una americana. En un juego sin ceroruedaCeroLa única casilla verde, que no cubre ninguna apuesta sencilla, docena ni columna; el origen de la ventaja de la casa. También: cero único, 0.Leer todo → la diferencia es nula y la probabilidad es 1: el marcador siempre vuelve al punto de igualdad. Epstein (2013) da la regla general.
El acertijo de Pascal de 1656: dos jugadores lanzan tres dados, y cada uno empieza con 12 fichas. Cada 11 pasa una ficha al primer jugador, cada 14 pasa una al segundo; los demás lanzamientos no cuentan. ¿Qué probabilidad tiene el primer jugador de ganar las 24? ¿Y si en cambio apuestas 1 unidad al rojo en cada giro contra un amigo que hace de casa, con 12 unidades cada uno: qué probabilidad tienes de ganar las 24?
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Respuesta El primer jugador gana unas 1,157 veces de cada 1,158. Tú, al rojo, ganas las 24 unidades solo alrededor del 34% de las veces.
Tres dados suman 11 de 27 maneras y 14 de 15 maneras, así que cada ficha que se mueve va al primer jugador 27 veces de cada 42, 9 veces de cada 14. Si cada lado empieza con 12, la probabilidad de llevárselo todo es 1/(1 + r¹²), donde r es el cociente entre la probabilidad del otro lado y la tuya.
Para el primer jugador r = 5/9, y (5/9)¹² ≈ 0.00086, así que la probabilidad es de unos 0.99914: una proporción de 9¹² a 5¹², o 282,429,536,481 a 244,140,625, aproximadamente 1,157 a 1. Huygens publicó exactamente esas cifras en 1657.
Al rojo, r = 19/18 por culpa del cero, y (19/18)¹² ≈ 1.913: tu probabilidad es 1/2.913 ≈ 34.3%. Una moneda daría un 50%. La ventaja del 2.70% de cada apuesta se acumula, a lo largo de las muchas apuestas necesarias, en una diferencia de 16 puntos.
Nota de humor
El juego audaz es óptimo. También termina enseguida.
Fuentes
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Carcavi, P. de. Letter to Huygens, 28 September 1656, on the problem Pascal posed to Fermat.
- Huygens, C. De Ratiociniis in Ludo Aleae.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Reuters. “Briton bets it all on roulette spin, and wins.”
- Las Vegas Sun. “Man wagers life’s worth.”