Problema: la rueda de los cumpleaños
¿Cuántos giros hacen falta para que se repita algún número? Muchos menos de los que la mayoría imagina.
El problema del cumpleaños en una rueda de 37 casillasequipoCasillaCada uno de los 37 compartimentos numerados del rotor. También: casillero, alvéolo.Leer todo →: tras solo 8 giros, la probabilidad de que algún número ya haya salido dos veces supera la mitad. Los jugadores leen las repeticiones como patrones; son el comportamiento esperado de una rueda equilibrada.
El problema
Haz girar una rueda europea equilibrada. ¿Cuántos giros hacen falta para que la probabilidadmatemáticasProbabilidadGrado de posibilidad de un resultado, de 0 a 1 o del 0% al 100%. Un número: 1/37 = 2.70%.Leer todo → de que al menos dos giros hayan mostrado el mismo número supere la mitad? La mayoría de los jugadores calcula algo así como 18 o 19, la mitad de 37. La respuesta es 8.
La solución
Calcula la probabilidad de que no haya repetición y réstala de uno. Tras k giros, p(todos distintos) = (37/37)(36/37)(35/37)…((38 − k)/37). Para k = 8: 1 × 0.973 × 0.946 × 0.919 × 0.892 × 0.865 × 0.838 × 0.811 ≈ 0.44, así que p(alguna repetición) ≈ 0.56. Para k = 14 es 0.93; para k = 20 es 0.996. La intuición falla porque el número de pares de giros crece como k², y cualquier par puede coincidir.
Por qué importa en la mesa
Un panel de resultados con los últimos 20 números casi siempre mostrará al menos una repetición, a menudo dos o tres. Los jugadores ven “el 17 salió dos veces en diez giros” y concluyen que el 17 está caliente; la aritmética del cumpleaños dice que una repetición en diez giros ocurre el 74% de las veces y que el número repetido es aleatorio. El patrón es real; su significado, no.
Un segundo problema
¿Cuántos giros hacen falta para que un número específico, por ejemplo el 17, haya salido dos veces? Es una pregunta distinta con una respuesta mucho mayor: en promedio hay que esperar 74 giros, y la probabilidad de dos 17 en 20 giros es de alrededor del 10%. La diferencia entre “algún número se repite” (8 giros) y “este número se repite” (74 giros) es toda la diferencia entre un patrón que notas después y una predicción que haces de antemano.
Pruébalo
Juega diez giros en el Juego de demostración y mira el historial. Normalmente habrá una repetición. Hazlo otra vez. El número repetido será distinto. Hazlo diez veces y habrás visto el problema del cumpleañosmatemáticasProblema del cumpleañosCuántas personas hacen falta para que probablemente dos cumplan años el mismo día, o cuántos giros hacen falta para que probablemente se repita un número. En una rueda de 37 casillas bastan 8 giros para tener una probabilidad mayor que la mitad.Leer todo →; hazlo mil veces (los simuladores pueden) y lo habrás medido.
Fórmula
Preguntas
Exactamente, con 37 casillas en lugar de 365 días. 23 personas dan el 50% para los cumpleaños; 8 giros dan el 56% para la rueda.
El 50% tras unos 19 giros. Sigue siendo algo rutinario.
No. Miles de giros de una misma rueda sí podrían; una repetición nunca.
Matemáticas para divertirse
Inténtalo tú primero. Cada solución está oculta; ábrela cuando estés listo.
Un panel de resultados junto a una rueda americana muestra los últimos 16 giros. ¿Qué probabilidad hay de que ningún número aparezca dos veces?
Ver la solución
Respuesta Aproximadamente un 2.5%: unos 39 paneles de cada 40 muestran al menos una repetición.
Ve giro a giro. El primero puede ser cualquiera. El segundo tiene que evitarlo: 37 posibilidades de 38. El tercero tiene que evitar los dos: 36 de 38. El decimosexto tiene que evitar quince números: 23 de 38.
Multiplica: 38/38 × 37/38 × 36/38 × … × 23/38 ≈ 0.0246.
El panel sin repeticiones es el raro. Un panel con una repetición no dice nada de la rueda.
En diez giros de una rueda europea, ¿qué probabilidad hay de que el 17 salga exactamente cinco veces? ¿Y de que algún número, el que sea, salga cinco veces o más? ¿Y de que algún número salga al menos tres veces en cuatro giros?
Ver la solución
Respuesta El 17 exactamente cinco veces: 1 de cada 315,576. Algún número cinco veces o más: alrededor de 1 de cada 8,333. Algún número tres veces o más en cuatro giros: 1 de cada 349.
El 17 cinco veces: elige cuáles cinco de los diez giros, 252 posibilidades, cada una con probabilidad (1/37)⁵ × (36/37)⁵. En conjunto, 1 de cada 315,576.
Algún número: cada uno de los 37 números tiene una probabilidad de 1 de cada 308,325 de cinco o más aciertos, lo que da 37 de cada 308,325, o 1 de cada 8,333. El caso raro de dos números con cinco aciertos cada uno se cuenta dos veces, pero eliminarlo no cambia nada con esta precisión.
Tres veces en cuatro giros: para un número, 4 × 36 + 1 = 145 de los 37⁴ resultados posibles; para cualquiera de los 37 números, 145/37³ = 1 de cada 349.
Para una rueda de doble ceroruedaCeroLa única casilla verde, que no cubre ninguna apuesta sencilla, docena ni columna; el origen de la ventaja de la casa. También: cero único, 0.Leer todo →, las cifras correspondientes son 1 de cada 359,275, 1 de cada 9,243 y 1 de cada 368. La diferencia entre “17” y “algún número” es de nuevo el problema del cumpleañosmatemáticasProblema del cumpleañosCuántas personas hacen falta para que probablemente dos cumplan años el mismo día, o cuántos giros hacen falta para que probablemente se repita un número. En una rueda de 37 casillas bastan 8 giros para tener una probabilidad mayor que la mitad.Leer todo →: hay 37 maneras de sorprenderse.
Nota de humor
Algo se repite pronto. Ese algo es aleatorio.
Fuentes
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. “Ask the Wizard”, preguntas sobre la ruleta.