Prueba de chi-cuadrado
La prueba habitual para responder a “¿estos 37 conteos son lo que produciría una rueda equilibrada?”
χ² = Σ (observado − esperado)² / esperado sobre las 37 casillas. Se compara con la distribución chi-cuadrado de 36 grados de libertad para obtener un valor p.
Cómo se calcula
El conteo esperado por casillaequipoCasillaCada uno de los 37 compartimentos numerados del rotor. También: casillero, alvéolo.Leer todo → es n/37. Para cada casilla, eleva al cuadrado la diferencia entre lo observado y lo esperado y divídela entre lo esperado; suma los 37 términos. Una rueda equilibrada da valores de alrededor de 36 en promedio (los grados de libertadlaboratorioGrados de libertadEl número de valores independientes de un estadístico. En una prueba de chi-cuadrado sobre 37 casillas es 36, porque los recuentos tienen que sumar el total.Leer todo →), con una desviación estándarmatemáticasDesviación estándarRaíz cuadrada de la varianza; la distancia típica de un resultado respecto al valor esperado.Leer todo → de aproximadamente 8.5. Por encima de 51.0 es significativo al nivel del 5%; por encima de 58.6, al 1%. El Analizador de sesgo de la rueda calcula el estadístico y el valor plaboratorioValor pLa probabilidad de observar una desviación al menos tan grande como la observada si la rueda fuera equilibrada.Leer todo → exacto a partir de la función gamma incompleta regularizada.
Un ejemplo resuelto
1,000 giros. Treinta y seis casillas tienen entre 20 y 34 aciertos; la casilla 8 tiene 41. Lo esperado es 27.03. Solo el término de la casilla 8 es (41 − 27.03)²/27.03 = 7.2. Supón que los otros 36 términos suman 38 (lo típico). χ² = 45.2 con 36 gl, p ≈ 0.14. No es significativo: una rueda equilibrada hace esto una vez de cada siete. La casilla 8 es una candidata, no un hallazgo, y la respuesta son otros mil giros.
Supuestos
Giros independientesmatemáticasGiros independientesCada giro tiene las mismas probabilidades sea cual sea el historial. Es la base de todos los cálculos de este sitio.Leer todo → y conteos esperados de al menos 5 por casilla, lo que significa n ≥ 185 para que la prueba sea válida y muchos más para que sea útil. Juntar giros de varias ruedas viola el primer supuesto en espíritu (se está probando una mezcla, no una rueda). Un efecto de firma del crupier lo violaría de hecho e inflaría χ² sin que ninguna casilla estuviera favorecida físicamente.
Firma del crupier de ruletaGiros independientes en la ruleta
Pearson y Montecarlo
Karl Pearson publicó la prueba en 1900, y uno de sus primeros ejemplos resueltos fueron 26,306 giros registrados de la ruleta de Montecarlo, que le parecieron demasiado poco uniformes para deberse al azar; declaró que “la ruleta de Montecarlo… no es un juego de azar”. Autores posteriores concluyeron que los periodistas que registraron los giros para un periódico habían inventado muchos de ellos, lo que es una lección en sí misma sobre la procedencia de los datos.
Pearson publica la prueba de bondad de ajuste chi-cuadrado, con giros de Montecarlo como ejemplo.
Se cuestionan los datos de los giros; los registradores parecen haber inventado series.
Fisher formaliza los grados de libertad; se impone la convención del 5%.
Los estadísticos usan giros de ruleta como datos de libro de texto para pruebas de uniformidad.
La familia García-Pelayo aplica el método con datos reales registrados y gana en Madrid.
Los casinos aplican la misma prueba a sus propias ruedas como mantenimiento rutinario.
Una prueba real: ruedas automáticas en Las Vegas
Los jugadores a menudo sospechan que una rueda automática aleja la bolaequipoBolaLa pequeña bola que se lanza por la pista en sentido contrario al del rotor. Las bolas modernas son de ivorina o de teflón, de 18–21 mm.Leer todo → de las grandes apuestas. Un análisis de 2017 puso a prueba esa sospecha en las ruedas de doble ceroruedaCeroLa única casilla verde, que no cubre ninguna apuesta sencilla, docena ni columna; el origen de la ventaja de la casa. También: cero único, 0.Leer todo → sin crupier de Interblock en Las Vegas, apostando a un arco de cinco números vecinos, el tipo de apuesta que hace un jugador que cronometra la rueda. En 299 giros el arco ganó 29 veces frente a 39.3 esperadas, un déficit que una rueda equilibrada produce alrededor del 4% de las veces. El chi-cuadrado de las 38 casillas fue 45.29 con 37 grados de libertad: p = 16.5%. Una segunda muestra de 1,204 giros en tres ruedas dio χ² = 34.79, p = 57%, y ningún arco de ningún tamaño de los probados fue significativo. Ambas muestras juntas, 1,503 giros, dieron χ² = 41.75, p = 27%. El veredicto fue que no había evidencia de que la rueda dirigiera la bola. La primera muestra sola parecía sospechosa; la segunda fue la que lo resolvió.
Más allá del chi-cuadrado
Para una única casilla sospechosa, una prueba binomial es más potente. Para un arco sospechoso, la prueba z por sectorruedaSectorUn arco continuo de casillas de la rueda, a diferencia de un grupo del paño.Leer todo → de la página de análisis de sectores. El chi-cuadrado es la prueba global: dice que algo no encaja sin decir qué. Úsalo primero y después mira.
Fórmula
Preguntas
Los 37 conteos deben sumar n, así que solo 36 pueden variar libremente.
Una rueda con una casilla a 1/25 en 10,000 giros daría solo por esa casilla un término de alrededor de 70; χ² muy por encima de 100, con un valor p prácticamente cero.
Técnicamente sí, con 5.4 esperados por casilla. No detectará nada que no sea una rueda con una casilla sellada.
Nota de humor
Suma las sorpresas al cuadrado. Compara con 51.0.
Fuentes
- Pearson, K. “On the criterion that a given system of deviations from the probable…”
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. “Organic Roulette Experiment.”